La sécurité d'un chiffre dépend en partie du nombre de clés différentes qu'on peut produire. On veut donc ici calculer le nombre de grilles différentes de taille $n.$ On va supposer que $n$ est pair. Il nous faut choisir $n^2/4$ carrés dans la grille de telle sorte qu'il n'y ait pas de recouvrement en effectuant l'une des rotations possibles.
On commence par choisir un des carrés. Il y a $n^2$ choix possibles. Pour le choix du deuxième carré, on ne peut pas choisir ce premier carré, ni les 3 carrés que l'on obtient par rotation de la grille. Il reste $n^2-4$ choix. Pour le choix du troisième carré, on ne peut choisir ni le premier carré, ni le deuxième carré, ni aucune des carrés obtenus à partir de ces deux par rotation. Il reste $n^2-8$ choix.
On pourra donc avoir l'impression qu'il y a $$n^2\times(n^2-4)\times (n^2-8)\times\cdots \times 4$$ choix possibles de grilles. Mais il faut faire attention! En effet, on obtient la même grille si on échange le premier trou et le deuxième trou ou plus généralement si on permute les trous que l'on a choisi. Comme on a choisi $n^2/4$ carrés, il y a $(n^2/4)!$ permutations de ces carrés et on en déduit que le nombre de grilles de Fleissner possible est \begin{align*} N&=\frac{n^2\times(n^2-4)\times (n^2-8)\times\cdots \times 4}{\left(\frac{n^2}4\right)!}\\ &=\frac{4\times \frac{n^2}4\times 4\times \left(\frac{n^2}4-1\right)\times \cdots \times 4\times 1}{\left(\frac{n^2}4\right)!}\\ &=\frac{4^{n^2/4}\times \left(\frac{n^2}4\right)!}{\left(\frac{n^2}4\right)!}\\ &=4^{n^2/4}. \end{align*} Ainsi, pour $n=6,$ il y a $4^9=262144$ grilles de taille $6\times 6$ différentes, suffisamment pour que le chiffre soit, avec les moyens de l'époque, considéré comme sûr. Toutefois, il avait deux inconvénients : il était peu aisé de choisir et de se mettre d'accord sur une grille parmi les 262144. De plus, si quelqu'un parvient à dérober la grille utilisée, toute la sécurité du chiffre s'envole...
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